#138　2021年4月　不思議な数字　142857

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異例の一年延期になった東京オリンピックの開催まで100日を切ってしまいました。

4月になってコロナへの予防ワクチンの接種も始まり、少しずつ実効力のある対策も始まりましたが、一方では変異型が猛威を振るうようになり、大阪では連日1000人前後の感染者が出ています。

「素数はめぐる」

コロナウィルスの話題が続くと、きっと書いている私も読んでいる方も
「ああ、ここでもコロナか…」 と気持ちがうつうつとしてしまうと思います。

果たしてそんな時なのですが、個人的には大変面白いなと思った話題の出ていた本を読みました。
ただ、「数字を見たらジンマシンが出る」とか「数学/算数が嫌い」という方には先に「ごめんなさい！」とお詫びしつつも、「へぇ〜」な内容の本です。

本の題名は、「素数はめぐる」（ISBN 9784065020036 /講談社ブルーバックス 税込 ¥1,012）で、 本屋さんでもネットでも手に入ります。
今回お伝えする話も amazon の検索ページにも簡単な紹介がのっていますが、もう少し詳しく、数字のマジック（手品）のような話をご紹介してみたいと思います。

と、その前に電卓の使い方を…

なにが面白そうな話なのかというのは、電卓を手元に置きながら実際に計算してみると一目瞭然なので、まず電卓の使い方を確認します。

電卓の基本的な機能に、「繰り返しの計算」というのがあるのですが、わりとご存じない方が多いので、そのやり方です。

電卓を使っていると、時々表示部分に “k” と表示されるアレなのですが、あまり知られていないようなので、覚えておくとこれは便利な機能です。

例題：1個 35 円の物を、５ 個、７ 個、10 個と買う時の値段の計算

最初に基準となる 「35」（「３」と「５」） を入力して、
「×」「×」と二度「×（かける）」のボタンを押してください。（“k”が出ます）

その次に「５（5個）」を押してから、
「＝」を押してください。

つまり 「３」　「５」　「×」　「×」　「５」　「＝」　という入力順序になります。

そうすると（当然ですが…）、答えの 「１７５」 が表示されます。

次にそのまま（「＝」を押した後）で「７（次の数字） 」を押して「＝」を押してください。

今度は「３」「５」を押していなくても答えの 「２４５」 が出るはずです。

ここでの電卓の使い方のポイントは

「×」を二度押すことと、

結果の時に必ず「＝」を押すことで、

それを守る限り最初の基本となる数字をずっと覚えていてくれます。

ちなみに割り算でも使えますが、その時は割る方の数（15÷3なら「3」）そして「÷」「÷」「1」「5」「＝」と実際の計算とは逆に入力します。

「１」「５」「÷」「÷」「３」「＝」 という入力順序ではなく、

「３」「÷」「÷」「１」「５」「＝」 という（感覚的にはおかしな）順番の入力になります。

（どちらも 「AC （オールクリア）」を押せば 繰り返し計算はいつでも解除されます）

不思議な数字　142857

さて！

それではちょっと面白い数字を使って計算をしてみましょう。

さきほどご紹介した本の題名は「素数はめぐる」なのですが、これから使う「142857」という数字はちなみに素数ではありません。

※　素数とは、1 より大きい自然数で、正の約数が 1 と自分自身のみであるもの→ ３や７、13などのように、他の数字で割れない数字のことです。
ちなみにこれからご紹介する「142857」という数字は、素因数分解すると「3 × 3 × 3 × 11 × 13 × 37」になります。

数ある数字の中でなぜこの数字なのかというと、とても面白い動きをするからです。

では、電卓にこの「１４２８５７」に続けて「×」「×」と押してください。

そのあとに「２」「＝」とすると、「285714」になります。

（表示部分に "k" が出ているようにしてください）

以下、 2倍から6倍まで 計算した結果になりますが、お手元の電卓を叩きながらなら、
「1」「4」「2」「8」「5」「7」「×」「×」「2」「=」、「3」「=」、「4」「=」、「5」「=」、「6」「=」 という手順です。

142857 × 2 ＝ 285714

142857 × 3 ＝ 428571

142857 × 4 ＝ 571428

142857 × 5 ＝ 714285

142857 × 6 ＝ 857142　…

「何が面白いんだ？」と思われた方は、答えの６個の数字をご覧ください。

「1」「4」「2」「8」「5」「7」の6個の数字しか答えに出てこないのです。

それでは 7倍したらどうなるでしょう？

142857 × 7 ＝ 999999

あれ？

でも、なんとなく偶然でも面白みのある数字ですよね。

次に8倍してみます。

142857 × 8 ＝ 1142856

まぁ当然 999999 より大きくなるので桁が増えて７桁になり、先ほどの６個の数字では収まらなくなります。

でも…。

両端を除いた間の5桁「14285」は生きているのですが、実は両端の「1」と「6」は足して「7」になり、消えたはずの「7」はここにあるのです！

142857 ×8 ＝ 1142856　→　「1　14285　6」　→両端の 1と 6 ＝ 7 

では、9倍は？

142857 × 9 ＝ 1285713　→　「1　28571　3」　→両端の 1と 3 ＝ 4 が、消えずにあります。

10倍は？

1428570 （1 + 0 = 1）

11倍は？

1571427 （1 + 7 = 8）

…

…

そして「×7」の時に「999999」となったことは引き継いで、7の倍数の時（例えば「×21」とした場合には「2999997」）、やはり
「2 99999 7」で、「999999」の並びは変わっていません。
整理すると、142857という数字を７の倍数以外で何倍しても、 「1」「4」「2」「8」「5」「7」 の数字から逃れられないこと、
また７の倍数の時には「9」 「9」 「9」 「9」 「9」 「9」 から逃れられないのです！

ということは何倍かした答えがどんな数字になっても、その数字を分解して足したものは、 「1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 ＝ 27」になるということ、

また7の倍数で掛け算をした時の数字を分解してたしてみると「9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 ＝ 54」になります。

どこまで続くかと思ってやってみたら、「×101」で「14 4285 57」となり、ここで数字の合計が「36」になったので法則が崩れました。

ただ「×102」では「14　5714　14」なので、また法則は復活してきます（両端２桁の「1」「4」と「1」「4」で 消えた「2」と「8」が復活します）。
ちょっと手品のような数字のお遊びみたいなものですが、とても面白く数字のマジックを紹介している本だったので、理数系の勉強をされていた方だけでなく、コロナで外出自粛の中、お手に取ってみたらいかがかと思い、今月は「素数はめぐる」（ISBN 9784065020036 /講談社ブルーバックス 税込 ¥1,012）という本のご案内をしてみました。

※ WEB版での追記

「×101」で「14 4285 57」となったのですが、よくよく見ると 「1」「4」「2」「8」「5」「7」に加えて「4」と「5」が余計に増えていて足して「9」になります。

142857 も二つずつ組み合わせると　「1」と「8」、「2」と「7」、「4」と「5」は足して９になります。

そして7倍した時の 999999 と合わせて考えると、どうも「9」という数字にマジックのカギがありそうですね。

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